Hypercube ou TESSERACT

En géométrie, le tesseract, aussi appelé 8-cellules ou octachore, est l'analogue quadridimensionnel du cube (tri-dimensionnel), où le mouvement le long de la quatrième dimension est souvent une représentation pour des transformations liées du cube à travers le temps. Le tesseract est au cube ce que le cube est au carré ; ou, plus formellement, le tesseract peut être décrit comme un 4-polytope régulier convexe dont les frontières sont constituées par huit cellules cubiques.

Une généralisation du cube aux dimensions plus grandes que trois est appelée un « hypercube », « n-cube » ou « polytope de mesure ». Le tesseract est l'hypercube quadridimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier. C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

Géométrie

Le tesseract standard en 4-espace euclidien est donné par l'enveloppe convexe des points (±1, ±1, ±1, ±1). C’est-à-dire qu'il est constitué des points :

   \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\mid -1\leq x_{i}\leq 1\}.

Un tesseract est limité par huit hyperplans (xi = ±1). Chaque paire d'hyperplans non-parallèles se coupent pour former 24 faces carrées dans un tesseract. Trois cubes et trois carrés se coupent à chaque arête. Il existe quatre cubes et six arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. Au total, il est constitué de 8 cubes, 24 carrés, 32 arêtes et 16 sommets.

Puisque chaque sommet d'un tesseract est adjacent à quatre arêtes, la figure de sommet d'un tesseract est un tétraèdre régulier. Ainsi, le tesseract est donné par le symbole de Schläfli {4,3,3}. Le polytope dual du tesseract est appelé l'hexadécachore ou 16-cellules, avec le symbole de Schläfli {3,3,4}.
Projections en 2 dimensions

La construction d'un hypercube peut être imaginée de la manière suivante :

   1-dimension : Deux points A et B peuvent être connectés en un segment [AB].
   2-dimensions : Deux segments parallèles [AB] et [CD] peuvent être connectés pour devenir un carré, avec les coins marqués ABCD.
   3-dimensions : Deux carrés parallèles ABCD et EFGH peuvent être connectés pour devenir un cube, avec les coins marqués ABCDEFGH.
   4-dimensions : Deux cubes parallèles ABCDEFGH et IJKLMNOP peuvent être connectés pour devenir un hypercube, avec les coins marqués ABCDEFGHIJKLMNOP.

Cette structure n'est pas aisée à imaginer mais il est possible de projeter des tesseracts dans des espaces tri ou bi-dimensionnels. En outre, les projections sur un plan bidimensionnel deviennent plus instructives en réarrangeant les positions des points projetés. De cette manière, on peut obtenir des images qui ne reflètent plus les relations spatiales dans le tesseract, mais qui illustrent la structure de connexion des sommets;

Le procédé est similaire à la construction d'un cube à partir de deux carrés :

Juxtaposer deux copies d'un cube de dimension inférieure et connecter les sommets correspondants. Le centre de l'image provient du fait que chaque arête est de la même longueur. Cette image permet aussi au cerveau humain de trouver une multitude de cubes qui sont interconnectés convenablement. Le diagramme sur la droite ordonne finalement les sommets du tesseract en respectant les distances le long des arêtes, en préservant le point de base. Cette vue est intéressante lorsque l'on utilise des tesseracts comme base pour une topologie de réseau pour brancher des processeurs multiples en informatique parallèle : la distance entre deux nœuds est au plus 4 et il existe beaucoup de chemins différents pour permettre un balancement pondéral.

Le motif de connexion des sommets du tesseract est le même qu'une rangée de carrés 4×4 dessinés sur un tore ; chaque cellule (représentant un sommet du tesseract) est adjacente à exactement quatre autres cellules1. Les tesseracts sont aussi des graphes bipartis, comme l'est un chemin, un carré, un cube et un arbre.

Je n'ai pas tout compris dans ton article Chantara, bien que je trouve l'hypercube assez intéressant en tant que représentation possible d'un espace en 4 dimensions.

Personnellement, j'ai découvert l'hypercube dans une série de vidéos traitant justement de la 4ème dimension. Je vous mets les 2 premières (l'hypercube est abordé dans la 2ème vidéo de cette série qui en compte 4) qui suffisent pour se faire une idée de ce qu'est la 4ème dimension (eh non, ça n'est pas forcément le temps ). Ces vidéos sont très bien faites, assez claires et simples à comprendre, avec des animations qui illustrent parfaitement les propos de ce youtubeur qui ne fait que des vidéos autour des mathématiques.

je sois reconnaitre que c'est assez compliqué.
nous ne voyons que 3 dimensions d'espace et la il faut penser 4... c'est complexe.
bref, merci pour tes liens beaucoup plus simple