Paradoxe de la flèche

Le paradoxe de la flèche est un paradoxe formulé par Zénon d'Élée pendant l'Antiquité :

Une flèche lancée est toujours immobile : en effet, tout corps est soit en mouvement soit en repos quand elle se trouve dans un espace égal à son volume ; or la flèche se trouve à chaque instant dans un espace égal à son volume.

Imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Maintenant, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible.

Ce paradoxe traduit toute la difficulté conceptuelle liée à la notion de vitesse instantanée. Toute vitesse nécessite d'associer un déplacement à un intervalle de temps. Si cet intervalle de temps est nul, il ne peut y avoir de déplacement, ce qui rend apparemment impossible le calcul d'une vitesse.

Il faudra attendre l'essor de l'analyse, et par elle celui du calcul infinitésimal, pour résoudre ce paradoxe.

Au delà de sa signification mathématique, ce paradoxe renferme de profondes interrogations physiques et métaphysiques sur la nature du mouvement. La physique classique, et en particulier la mécanique analytique, a répondu à ces interrogations en introduisant le concept de quantité de mouvement, dont l'existence est indépendante de la position et du temps.

Il est intéressant de remarquer qu'avec la mécanique quantique, le paradoxe de la flèche a retrouvé une certaine pertinence, dans la mesure où il exprime la contradiction entre les concepts de position et de vitesse, contradiction qui n'est pas sans évoquer le principe d'incertitude. Une formulation rigoureuse du paradoxe a d'ailleurs été appelée effet quantique de Zénon, qui s'applique à une observable quantique quelconque, et qui consiste à dire que lorsqu'on effectue N mesures de cette observable dans un intervalle de temps t, la probabilité de trouver un système dans le même état après cet intervalle de temps, tend vers 1 lorsque N tend vers l'infini.